Soru:
\( 3a7b \) dört basamaklı sayısı 4 ve 5 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 Sayının hem 4'e hem de 5'e tam bölünebilmesi için gerekli koşulları inceleyelim.
- ➡️ 5 ile bölünebilme kuralı: Son rakam 0 veya 5 olmalıdır. Bu durumda \( b = 0 \) veya \( b = 5 \) olabilir.
- ➡️ 4 ile bölünebilme kuralı: Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4 ile tam bölünmelidir.
- ➡️ Durum 1 (\( b = 0 \)): Son iki basamak \( 70 \)'dir. \( 70 \) mod 4'te \( 2 \) kalanını verir (Çünkü \( 70 ÷ 4 = 17*4=68, 70-68=2 \)). Bu durum 4'e bölünme şartını sağlamaz. ❌
- ➡️ Durum 2 (\( b = 5 \)): Son iki basamak \( 75 \)'tir. \( 75 \) mod 4'te \( 3 \) kalanını verir (Çünkü \( 75 ÷ 4 = 18*4=72, 75-72=3 \)). Bu durum da 4'e bölünme şartını sağlamaz. ❌
- ➡️ Her iki durumda da sayı 4'e tam bölünemiyor. Bu bir çelişki mi? Soruda sayının 4 ve 5 ile tam bölünebildiği belirtilmiş. Demek ki bizim başlangıçtaki 5'e bölünme kuralını uygulama şeklimizde bir hata var. 5'e bölünme için son rakam 0 veya 5'tir, evet. Ancak 4'e bölünme için son iki basamak 4'ün katı olmalıdır. \( b=0 \) için son iki basamak \( 7a0 \) değil, \( a0 \) olacak şekilde düşünmeliyiz. Sayı \( 3a7b \). Son iki basamak \( 7b \) değil mi? Evet, son iki basamak \( 7b \). O halde:
- ➡️ Durum 1 (\( b = 0 \)): Son iki basamak \( 70 \). \( 70 \)'in 4'e bölümünden kalan 2'dir. Yani 4'e tam bölünmez.
- ➡️ Durum 2 (\( b = 5 \)): Son iki basamak \( 75 \). \( 75 \)'in 4'e bölümünden kalan 3'tür. Yine 4'e tam bölünmez.
- ➡️ Bu durumda sorunun bir çözümü yok gibi görünüyor. Ancak soru hatalı olabilir mi? Veya biz bir şeyi mi kaçırıyoruz? Tekrar kontrol edelim: Sayı \( 3a7b \). Son iki basamak \( 7b \). \( 7b \) iki basamaklı bir sayı. \( b=0 \) için \( 70 \), 4'e bölünmez. \( b=5 \) için \( 75 \), 4'e bölünmez. Gerçekten de bu koşulları sağlayan bir \( b \) yok. Demek ki soruda bir yanlışlık var. Fakat genel metodolojiyi göstermek adına, eğer şart sağlansaydı ne yapardık onu anlatalım. Örneğin, 5'e bölünme için b=0 veya 5 seçilir, sonra 4'e bölünme için son iki basamak kontrol edilir ve uygun a değerleri bulunurdu. Ancak bu soru için uygun b değeri olmadığından, a'nın alabileceği değerler toplamı 0'dır.
✅ Sonuç: 0 (Sorunun verileriyle 4 ve 5'e aynı anda tam bölünen bir sayı oluşturulamaz)
