Soru:
\( 2^{25} \) sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
💡 Büyük üslü sayılarda kalan bulmak için modüler aritmetik ve özellikleri kullanılır.
- ➡️ İlk olarak, 2'nin 7'ye bölümünden kalanları inceleyerek bir periyot (döngü) bulmaya çalışalım.
- ➡️ \( 2^1 = 2 \) → 7'ye bölümünden kalan 2.
- ➡️ \( 2^2 = 4 \) → 7'ye bölümünden kalan 4.
- ➡️ \( 2^3 = 8 \) → 7'ye bölümünden kalan 1 (8-7=1).
- ➡️ \( 2^4 = 16 \) → 7'ye bölümünden kalan 2 (16-14=2).
- ➡️ \( 2^5 = 32 \) → 7'ye bölümünden kalan 4 (32-28=4).
- ➡️ \( 2^6 = 64 \) → 7'ye bölümünden kalan 1 (64-63=1).
- ➡️ Görüldüğü gibi kalanlar 2, 4, 1 şeklinde 3'lü bir döngü içinde tekrar etmektedir.
- ➡️ Üssü (25), döngünün uzunluğuna (3) bölelim: \( 25 ÷ 3 = 8 \) ve kalan 1.
- ➡️ Kalan 1 olduğu için, döngünün 1. elemanındaki kalanı alırız. Döngü (2, 4, 1) şeklindeydi ve 1. sıradaki kalan 2'dir.
✅ Sonuç: 2
