Soru:
\( 5a3b \) dört basamaklı sayısı 6 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, \( a + b \) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
💡 Bir sayının 6 ile tam bölünebilmesi için, aynı anda 2 ve 3 ile tam bölünmesi gerekir.
- ➡️ 2 ile bölünebilme kuralı: Son rakam çift olmalıdır. Yani \( b \in \{0, 2, 4, 6, 8\} \).
- ➡️ 3 ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır. Rakamlar toplamı: \( 5 + a + 3 + b = 8 + a + b \).
- ➡️ \( 8 + a + b \) toplamının 3'ün katı olması ve \( b \)'nin çift olması gerekiyor. Ayrıca \( a \) ve \( b \) birer rakam olduğundan \( 0 \le a \le 9 \) ve \( 0 \le b \le 9 \).
- ➡️ \( a + b \) toplamının en büyük değeri için önce \( a = 9 \) alalım. Rakamlar toplamı \( 8 + 9 + b = 17 + b \) olur. \( 17 + b \) sayısının 3'ün katı olması ve \( b \)'nin çift olması gerekiyor.
- ➡️ \( b \)'yi en büyük çift rakamdan (8) başlayarak deneyelim:
- \( b = 8 \) → \( 17 + 8 = 25 \). 25, 3'ün katı değil. ❌
- \( b = 6 \) → \( 17 + 6 = 23 \). 23, 3'ün katı değil. ❌
- \( b = 4 \) → \( 17 + 4 = 21 \). 21, 3'ün katıdır. ✔️ Bu durumda \( a + b = 9 + 4 = 13 \).
- ➡️ Şimdi \( a = 8 \) alalım. Rakamlar toplamı \( 8 + 8 + b = 16 + b \).
- \( b = 8 \) → \( 16 + 8 = 24 \) (3'ün katı). ✔️ Bu durumda \( a + b = 8 + 8 = 16 \).
- ➡️ \( a = 7 \) alalım. Rakamlar toplamı \( 8 + 7 + b = 15 + b \).
- \( b = 8 \) → \( 15 + 8 = 23 \) (3'ün katı değil). ❌
- \( b = 6 \) → \( 15 + 6 = 21 \) (3'ün katı). ✔️ Bu durumda \( a + b = 7 + 6 = 13 \).
- ➡️ Bulduğumuz değerler: 13, 16, 13. En büyük değer 16'dır.
✅ Sonuç: 16
