Soru:
Yatay düzlemde duran bir cisim, iki farklı yönden \( F_1 = 20 \, N \) ve \( F_2 \) büyüklüğündeki kuvvetlerle çekilmektedir. \( F_1 \) kuvveti doğu yönünde, \( F_2 \) kuvveti ise kuzey-doğu yönündedir. Cisme etki eden üçüncü kuvvet (bileşke) batı yönünde ve \( 30 \, N \) büyüklüğündedir. Buna göre, \( F_2 \) kuvvetinin büyüklüğü kaç Newtondur? (Kuvvetlerin kesiştiği noktada dengededirler.)
Çözüm:
💡 Burada üç kuvvet dengededir, yani bileşkeleri sıfırdır. Bu durumda herhangi bir kuvvet, diğer ikisinin bileşkesine eşit büyüklükte ve zıt yöndedir. Verilen batı yönündeki \( 30 \, N \) luk kuvvet, aslında \( F_1 \) ve \( F_2 \) nin bileşkesine eşit ve zıttır. Lami Teoremi'ni doğrudan uygulamak için açıları belirlemeliyiz.
- ➡️ Kuvvetleri tanımlayalım: \( F_1 = 20 \, N \) (Doğu), Bileşke = \( 30 \, N \) (Batı). Dengede olduğu için, üçüncü kuvvetimiz \( F_2 \) dir. \( F_1 \) ve \( F_2 \) nin bileşkesi \( 30 \, N \) ve Batı yönünde olmalıdır. Bu, \( F_2 \) nin bileşkeyi sağlayacak şekilde olması gerektiği anlamına gelir.
- ➡️ Yönleri ve açıları belirleyelim. \( F_1 \) (Doğu) ile Bileşke (Batı) arasındaki açı \( 180^\circ \) dir. \( F_2 \) (Kuzey-doğu) ile Bileşke (Batı) arasındaki açı: Kuzey-doğu, doğu ile kuzey arasında \( 45^\circ \) dir. Batı yönü ise doğunun tam zıttıdır. Dolayısıyla, Kuzey-doğu yönündeki bir vektör ile Batı yönündeki bir vektör arasındaki açı \( 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \) dir. \( F_1 \) (Doğu) ile \( F_2 \) (Kuzey-doğu) arasındaki açı ise \( 45^\circ \) dir.
- ➡️ Lami Teoremi'ni uygulayalım. Kuvvetler: \( F_1 = 20 \, N \), \( F_2 = ? \), Bileşke (Dengeleyici Kuvvet) = \( 30 \, N \).
\( \frac{F_1}{\sin(135^\circ)} = \frac{F_2}{\sin(180^\circ)} = \frac{30}{\sin(45^\circ)} \)
Ancak \( \sin(180^\circ) = 0 \) olduğu için bu formül doğrudan kullanılamaz. Bu, kuvvetlerden ikisinin aynı doğrultuda olduğunu gösterir (\( F_1 \) ve bileşke zıt yönlerde). Bu özel bir durumdur ve Lami yerine vektörel toplam daha uygundur. Fakat soru Lami istiyor gibi görünse de, kuvvetler aynı düzlemde ve dengededir. Doğru açıları bulmak gerekir. Dengeleyici kuvvet \( R = 30 \, N \) (Batı) ise, \( F_1 + F_2 + R = 0 \) olmalı. Yani \( F_1 + F_2 = -R \). Bu durumda \( F_1 \) ve \( F_2 \) nin bileşkesi \( 30 \, N \) (Doğu) olur. Şimdi Lami'yi \( F_1 \), \( F_2 \) ve bu \( 30 \, N \) luk bileşke üçgenine uygulayalım. Bu üç kuvvet bir üçgen oluşturur.
\( F_1 \) ile \( F_2 \) arasındaki açı \( 45^\circ \).
\( F_1 \) ile bileşke (30 N) arasındaki açıyı bulalım. Sinüs teoremini uygularsak:
\( \frac{F_2}{\sin(\theta)} = \frac{30}{\sin(45^\circ)} \). Ama \( \theta \) yı bulmak için kosinüs teoremi daha pratiktir: \( (30)^2 = (20)^2 + (F_2)^2 - 2 \cdot 20 \cdot F_2 \cdot \cos(135^\circ) \).
\( 900 = 400 + F_2^2 - 40 \cdot F_2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \)
\( 500 = F_2^2 + 20\sqrt{2} F_2 \)
\( F_2^2 + 20\sqrt{2} F_2 - 500 = 0 \).
Diskriminant: \( (20\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 800 + 2000 = 2800 \).
\( \sqrt{2800} = \sqrt{400 \cdot 7} = 20\sqrt{7} \).
\( F_2 = \frac{-20\sqrt{2} \pm 20\sqrt{7}}{2} = -10\sqrt{2} \pm 10\sqrt{7} \). Pozitif kökü alırız: \( F_2 = 10(\sqrt{7} - \sqrt{2}) \, N \).
✅ Sonuç: \( F_2 = 10(\sqrt{7} - \sqrt{2}) \, N \).
