Soru:
Yatay düzlemdeki bir halkaya, aynı düzlemde üç farklı doğrultuda \( F_1 \), \( F_2 \) ve \( F_3 \) kuvvetleri uygulanıyor. Kuvvetler dengede olduğuna göre ve \( F_1 = 40 \, N \), \( F_2 = 40\sqrt{3} \, N \) olduğu bilindiğine göre, \( F_3 \) kuvvetinin büyüklüğünü ve kuvvetler arasındaki açıları bulunuz.
Çözüm:
💡 Üç kuvvet dengede ve Lami Teoremi geçerlidir. Kuvvetlerin büyüklükleri karşılarındaki açıların sinüsleri ile orantılıdır. \( F_1 \) ve \( F_2 \) biliniyor, buradan açılar ve \( F_3 \) bulunabilir.
- ➡️ Lami Teoremi'ni yazalım: \( \frac{F_1}{\sin(\alpha_1)} = \frac{F_2}{\sin(\alpha_2)} = \frac{F_3}{\sin(\alpha_3)} \). Burada \( \alpha_1 \), \( F_1 \) kuvvetinin karşısındaki açıdır (yani \( F_2 \) ile \( F_3 \) arasındaki açı).
- ➡️ Oranı kuralım: \( \frac{F_1}{F_2} = \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_2)} \). \( \frac{40}{40\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_2)} \). Bu oran, \( \sin(30^\circ) / \sin(60^\circ) \) oranına eşittir. (\( 0,5 / (\sqrt{3}/2) = 1/\sqrt{3} \)).
- ➡️ Öyleyse, \( \alpha_1 = 30^\circ \) ve \( \alpha_2 = 60^\circ \) olarak alınabilir. Üç açının toplamı 360° olacağı için \( \alpha_3 = 360^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 270^\circ \) olur. Ancak bu mümkün değildir, çünkü kuvvetler aynı düzlemde ve bir noktada kesişiyor. Doğrusu: Üç kuvvetin oluşturduğu üçgendeki açıların toplamı 180°'dir. Lami'de kullanılan açılar, kuvvetlerin birbirleri arasında kalan ve 360°'den küçük olan dış açılardır. Bu dış açıların toplamı ise 360°'dir. Bu nedenle \( \alpha_3 = 360^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 270^\circ \) olur ve \( \sin(270^\circ) = -1 \) olacağından bu fiziksel olarak anlamsızdır. Alternatif Yaklaşım: Kuvvetler kapalı bir üçgen oluşturur. \( F_1 \) ve \( F_2 \) arasındaki açıyı \( \theta \) olarak alıp kosinüs teoremi ile çözülebilir, ancak Lami kullanmak için açılardan birinin 90° olduğunu varsayalım. \( F_1=40, F_2=40\sqrt{3} \) ise, bu iki kuvvetin büyüklükleri 3-4-5 üçgeni veya 1-√3-2 üçgenini hatırlatır. \( 40^2 + (40\sqrt{3})^2 = 1600 + 4800 = 6400 \), \( \sqrt{6400} = 80 \). Yani bu iki kuvvet dik ise bileşkeleri 80 N'dir ve denge için \( F_3 \) bu bileşkeye eşit ve zıt yönde olmalıdır. Yani \( F_3 = 80 \, N \).
- ➡️ Lami Teoremi'ni bu sonuçla kontrol edelim. \( F_3 \)'ün karşısındaki açı, \( F_1 \) ve \( F_2 \) arasındaki açıdır ve bu açı 90° olarak bulunmuştur. O halde: \( \frac{F_1}{\sin(\alpha_1)} = \frac{F_3}{\sin(90^\circ)} \) → \( \frac{40}{\sin(\alpha_1)} = \frac{80}{1} \) → \( \sin(\alpha_1) = 0,5 \) → \( \alpha_1 = 30^\circ \). Benzer şekilde, \( \frac{F_2}{\sin(\alpha_2)} = 80 \) → \( \frac{40\sqrt{3}}{\sin(\alpha_2)} = 80 \) → \( \sin(\alpha_2) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( \alpha_2 = 60^\circ \). Açıların toplamı \( 30+60+90=180^\circ \) değil, 360° olmalıydı? Hayır, Lami'deki açılar kuvvetlerin arasındaki dış açılardır. \( \alpha_1 = 150^\circ \), \( \alpha_2 = 120^\circ \), \( \alpha_3 = 90^\circ \) olursa toplamları 360° yapar ve sinüsleri aynı kalır (\( \sin150=\sin30, \sin120=\sin60 \)). Bu tutarlıdır.
✅ Sonuç: \( F_3 = 80 \, N \). Kuvvetler arasındaki açılar (iç açılar olarak) \( F_1 \) ile \( F_2 \) arasında 90°, \( F_2 \) ile \( F_3 \) arasında 150°, \( F_3 \) ile \( F_1 \) arasında 120°'dir.
