Bir $\triangle ABC$'de, A köşesine ait iç açıortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. $\triangle ABD$'nin alanı $18$ $cm^2$ ve $|BD|=6$ cm, $|DC|=9$ cm olduğuna göre, $\triangle ADC$'nin alanı kaç $cm^2$'dir?
A) 24Açıortay teoremini ve alan ilişkisini kullanarak soruyu adım adım çözelim:
Bir üçgende bir iç açıortay, karşı kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları oranıyla aynı oranda böler. Yani, $|AB|/|AC| = |BD|/|DC|$'dir.
Soruda $|BD| = 6$ cm ve $|DC| = 9$ cm olarak verilmiş. O halde, $|AB|/|AC| = 6/9 = 2/3$'tür. Yani $|AB| = 2k$ ve $|AC| = 3k$ diyebiliriz (k bir sabittir).
$\triangle ABD$ ve $\triangle ADC$'nin yükseklikleri A noktasından BC kenarına çizilen dikme olduğu için eşittir. Bu durumda alanlar oranı tabanlar oranına eşit olacaktır. Yani, Alan($\triangle ABD$) / Alan($\triangle ADC$) = $|BD|/|DC|$'dir.
Alan($\triangle ABD$) = 18 $cm^2$ ve $|BD|/|DC| = 6/9 = 2/3$ olduğundan, 18 / Alan($\triangle ADC$) = 2/3 olur.
İçler dışlar çarpımı yaparak Alan($\triangle ADC$)'yi bulabiliriz: 2 * Alan($\triangle ADC$) = 18 * 3 = 54. Buradan Alan($\triangle ADC$) = 54/2 = 27 $cm^2$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
