Soru:
Bir \( \triangle XYZ \) dik üçgeninde, \( \widehat{Y} = 90^\circ \)'dir. \( [YA] \), \( \widehat{Y} \) açısının açıortayıdır. \( |XZ| = 25 \) cm ve \( |XY| = 7 \) cm olduğuna göre, \( |AZ| \) uzunluğu kaç cm'dir? (Not: A noktası, açıortayın \( [XZ] \) kenarını kestiği noktadır).
Çözüm:
💡 Öncelikle Pisagor teoremi ile \( |YZ| \) kenarını bulmalıyız. Daha sonra açıortay teoremini uygulayacağız.
- ➡️ Pisagor teoremi: \( |XY|^2 + |YZ|^2 = |XZ|^2 \)
- ➡️ \( 7^2 + |YZ|^2 = 25^2 \implies 49 + |YZ|^2 = 625 \implies |YZ|^2 = 576 \implies |YZ| = 24 \) cm
- ➡️ Şimdi açıortay teoremini uygulayalım: \( \frac{|XA|}{|AZ|} = \frac{|XY|}{|YZ|} = \frac{7}{24} \)
- ➡️ \( |XA| = 7k \) ve \( |AZ| = 24k \) diyelim. \( |XZ| = |XA| + |AZ| = 7k + 24k = 31k = 25 \) cm
- ➡️ \( k = \frac{25}{31} \) cm bulunur.
- ➡️ \( |AZ| = 24k = 24 \cdot \frac{25}{31} = \frac{600}{31} \) cm
✅ Sonuç: \( |AZ| = \frac{600}{31} \) cm'dir.
