Açıortay Özellikleri Nelerdir?

Bir \( \triangle ABC \) üçgeninde \( [AN] \), \( \widehat{A} \) açısının açıortayıdır. \( |AB| = 10 \) cm, \( |AC| = 15 \) cm ve \( |AN| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |BC| \) kenarının açıortay tarafından bölünen parçalarından \( |BN| \)'nin uzunluğunu bulmak için gerekli denklemi yazınız. (Not: Bu soru, Açıortay Uzunluğu Formülü kullanımını gerektirir.)

💡 Bu soruda açıortayın kendisinin uzunluğu verilmiş. Bu durumda açıortay uzunluğu formülünü kullanırız.

• ➡️ Açıortay uzunluğu formülü: \( |AN|^2 = |AB| \cdot |AC| - |BN| \cdot |NC| \)
• ➡️ Açıortay teoreminden: \( \dfrac{|BN|}{|NC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3} \)
• ➡️ \( |BN| = 2k \) ve \( |NC| = 3k \) diyelim. \( |BC| = 5k \) olur.
• ➡️ Formülde yerine koyalım: \( 8^2 = (10 \cdot 15) - (2k \cdot 3k) \)
• ➡️ \( 64 = 150 - 6k^2 \)
• ➡️ \( 6k^2 = 150 - 64 \)
• ➡️ \( 6k^2 = 86 \)
• ➡️ \( k^2 = \dfrac{86}{6} = \dfrac{43}{3} \)
• ➡️ \( |BN| = 2k = 2\sqrt{\dfrac{43}{3}} \) cm olarak bulunur.

✅ Sonuç: \( |BN| = 2\sqrt{\dfrac{43}{3}} \) cm'dir.