Soru:
\( a \) ve \( b \) birer tam sayı olmak üzere, \( a \cdot b = 24 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \((a, b)\) sıralı ikilisi vardır? Bu ikililerden kaç tanesinde her iki sayı da pozitiftir?
Çözüm:
💡 24 sayısının tam sayı çarpanlarını bulmamız ve sıralı ikili olduğunu unutmamamız gerekiyor. Yani (1, 24) ile (24, 1) farklı ikililerdir.
- ➡️ 1. Adım: 24 sayısının pozitif tam sayı çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- ➡️ 2. Adım: Bir çarpan pozitif veya negatif olabilir. \(a \cdot b = 24\) koşulunu sağlamak için \(a\) ve \(b\) aynı işaretli olmalıdır (çünkü çarpımları pozitif).
- ➡️ 3. Adım: Tüm sıralı ikilileri sayalım.
- Durum 1 (Her ikisi de pozitif): Pozitif çarpanlardan 8 tane var. Bu durumda \(a\) için 8, \(b\) için 1 seçenek (çarpanın kendisi) vardır. Yani \(8 \times 1 = 8\) farklı sıralı ikili. Ancak burada dikkat! \(a\)'ya bir çarpan atadığımızda \(b\) otomatik olarak \(24/a\) olarak belirlenir. Yani aslında \(a\) için 8 farklı pozitif değer vardır. Yani (1,24), (2,12), (3,8), (4,6), (6,4), (8,3), (12,2), (24,1) -> 8 ikili.
- Durum 2 (Her ikisi de negatif): Aynı mantıkla, \(a\) için 8 farklı negatif değer vardır. (-1,-24), (-2,-12), ... -> 8 ikili.
Toplam ikili sayısı: 8 (pozitif) + 8 (negatif) = 16.
- ➡️ 4. Adım: Sorunun ikinci kısmı "her iki sayı da pozitif" olan ikilileri soruyor. Yukarıdan gördüğümüz gibi bu sayı 8'dir.
✅ Sonuç: Toplam 16 farklı \((a, b)\) sıralı ikilisi vardır. Bu ikililerden 8 tanesinde her iki sayı da pozitiftir.
