Soru:
\( B = \{ 2k+1 : k \in \mathbb{Z} \} \) kümesi (tek tam sayılar kümesi) çarpma işlemine göre kapalı mıdır? Gösteriniz.
Çözüm:
💡 İki tek sayının çarpımının sonucunun yine bir tek sayı olup olmadığını genel bir ispatla göstermeliyiz.
- ➡️ Birinci adım: Kümeden herhangi iki eleman alalım. Genel formları \( 2a+1 \) ve \( 2b+1 \) olsun. (Burada \(a\) ve \(b\) birer tam sayıdır).
- ➡️ İkinci adım: Bu iki tek sayıyı çarpalım.
\( (2a+1) \times (2b+1) = 4ab + 2a + 2b + 1 \)
- ➡️ Üçüncü adım: İfadeyi düzenleyelim ve tek sayı formuna (\(2 \times \text{(tam sayı)} + 1\)) getirelim.
\( 4ab + 2a + 2b + 1 = 2(2ab + a + b) + 1 \)
- ➡️ Dördüncü adım: \( m = 2ab + a + b \) dersek, \(m\) bir tam sayı olur. Sonuç \(2m + 1\) formatındadır, yani bir tek sayıdır.
✅ Sonuç: İki tek sayının çarpımı her zaman bir tek sayıdır. Bu nedenle, \(B\) kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
