Soru:
Doğal sayılar kümesi \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} \) aşağıdaki işlemlerden hangilerine göre kapalıdır? Kapalı olmadığını gösteriniz.
- a) Toplama işlemi
- b) Çıkarma işlemi
- c) Çarpma işlemi
- d) Bölme işlemi
Çözüm:
💡 Bir küme, bir işleme göre kapalı ise, o kümenin herhangi iki elemanı ile yapılan işlemin sonucu yine aynı kümede olmalıdır.
- ➡️ a) Toplama: \( 5 \in \mathbb{N} \) ve \( 3 \in \mathbb{N} \) için \( 5 + 3 = 8 \in \mathbb{N} \). Herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. ✅ Kapalıdır.
- ➡️ b) Çıkarma: \( 5 \in \mathbb{N} \) ve \( 8 \in \mathbb{N} \) için \( 5 - 8 = -3 \notin \mathbb{N} \). Sonuç negatif bir tam sayı olduğu için doğal sayı değildir. ❌ Kapalı değildir.
- ➡️ c) Çarpma: \( 4 \in \mathbb{N} \) ve \( 7 \in \mathbb{N} \) için \( 4 \times 7 = 28 \in \mathbb{N} \). Herhangi iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. ✅ Kapalıdır.
- ➡️ d) Bölme: \( 5 \in \mathbb{N} \) ve \( 2 \in \mathbb{N} \) için \( 5 \div 2 = 2.5 \notin \mathbb{N} \). Sonuç bir doğal sayı olmak zorunda değildir. ❌ Kapalı değildir.
✅ Sonuç: Doğal sayılar kümesi toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır, ancak çıkarma ve bölme işlemlerine göre kapalı değildir.
