Soru:
Rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \), toplama işlemine göre kapalı mıdır? Genel bir ispat yapınız. (Rasyonel sayılar \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır, burada \( a \) ve \( b \) tam sayı ve \( b \neq 0 \)).
Çözüm:
💡 Kapalılığı göstermek için, kümeden alınan herhangi iki elemanın işlem sonucunun yine kümede olduğunu genel olarak göstermeliyiz.
- ➡️ İki rasyonel sayı alalım: \( \frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \) ve \( \frac{c}{d} \in \mathbb{Q} \). Burada \( a, b, c, d \in \mathbb{Z} \) ve \( b \neq 0 \), \( d \neq 0 \).
- ➡️ Bu iki sayıyı toplayalım: \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \).
- ➡️ Sonucu inceleyelim: \( ad \), \( bc \), ve \( bd \) birer tam sayıdır çünkü tam sayılar çarpma işlemine göre kapalıdır. Ayrıca \( bd \neq 0 \) çünkü \( b \neq 0 \) ve \( d \neq 0 \).
- ➡️ O halde, \( \frac{ad + bc}{bd} \) ifadesi, payı ve paydası tam sayı olan ve paydası sıfırdan farklı bir kesirdir. Bu da onun bir rasyonel sayı olduğu anlamına gelir. Yani, \( \frac{ad + bc}{bd} \in \mathbb{Q} \).
✅ Sonuç: Herhangi iki rasyonel sayının toplamı yine bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
