Soru:
İrrasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{I} \) (örneğin \( \sqrt{2}, \pi \)) toplama işlemine göre kapalı mıdır? Cevabınızı iki farklı örnekle destekleyiniz.
Çözüm:
💡 İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan sayılardır. Kapalılık için tüm eleman çiftlerinin sonucunun irrasyonel olması gerekir. Aksi ispatlanabilirse kapalı olmadığı gösterilir.
- ➡️ Örnek 1 (Kapalı gibi görünebilir): \( \sqrt{2} \in \mathbb{I} \) ve \( \sqrt{3} \in \mathbb{I} \) alalım. \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \)'ün irrasyonel olduğu bilinir. Bu, kapalı olduğunu kanıtlamaz, sadece bu özel durum için doğrudur.
- ➡️ Örnek 2 (Kapalı olmadığını gösteren karşı örnek): \( \sqrt{2} \in \mathbb{I} \) ve \( -\sqrt{2} \in \mathbb{I} \) alalım. (Negatif bir irrasyonel sayı da irrasyoneldir). Bu iki sayıyı toplayalım: \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \).
- ➡️ Sonucu kontrol edelim: \( 0 \) bir rasyonel sayıdır (çünkü \( \frac{0}{1} \) şeklinde yazılabilir). Dolayısıyla, \( 0 \notin \mathbb{I} \).
✅ Sonuç: İrrasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir, çünkü kümeden seçilen iki irrasyonel sayının toplamı (örneğin \( \sqrt{2} \) ve \( -\sqrt{2} \)) bir rasyonel sayı (0) olabilmektedir.
