Soru:
\( B = \{ 2k : k \in \mathbb{Z} \} \) kümesi (çift tam sayılar kümesi) veriliyor. Bu kümenin aşağıdaki işlemlere göre kapalı olup olmadığını araştırınız.
Çözüm:
💡 Kümenin elemanlarını genel formda yazalım: \( 2m \) ve \( 2n \) (m ve n birer tam sayı).
- ➡️ a) Toplama İşlemi: \( 2m + 2n = 2(m + n) \). \( m+n \) bir tam sayı olduğundan, sonuç yine 2'nin bir tam sayı katıdır, yani bir çift sayıdır. ✅ Bu nedenle küme toplama işlemine göre kapalıdır.
- ➡️ b) Çarpma İşlemi: \( (2m) \times (2n) = 4mn \). \( 4mn \) ifadesi 4'ün bir tam sayı katıdır, bu da her zaman bir çift sayıdır (hatta 4'e bölünebilen bir sayı). Sonuç yine \( B \) kümesinin bir elemanıdır. ✅ Bu nedenle küme çarpma işlemine göre de kapalıdır.
✅ Sonuç: Çift tam sayılar kümesi, hem toplama hem de çarpma işlemine göre kapalıdır.
