Soru:
İrrasyonel sayılar kümesi (\( \mathbb{I} \)) hangi işlem veya işlemlere göre kapalıdır? Aşağıdaki seçeneklerden doğru olanı işaretleyiniz.
- A) Yalnızca Toplama
- B) Yalnızca Çarpma
- C) Hem Toplama hem Çarpma
- D) Hiçbiri
Çözüm:
💡 İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan sayılardır. Kapalılığı test etmek için karşıt örnekler aramak genellikle en etkili yoldur.
- ➡️ Toplama İşlemi: \(\sqrt{2}\) ve \(-\sqrt{2}\) sayıları her ikisi de irrasyoneldir. Ancak, \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\). Sonuç (0) bir rasyonel sayıdır. Dolayısıyla kapalı değildir.
- ➡️ Çıkarma İşlemi: \(\sqrt{2}\) ve \(\sqrt{2}\) sayıları irrasyoneldir. \(\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0\). Sonuç rasyoneldir. Kapalı değildir.
- ➡️ Çarpma İşlemi: \(\sqrt{2}\) ve \(\sqrt{8}\) sayıları irrasyoneldir. \(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\). Sonuç rasyoneldir. Kapalı değildir.
- ➡️ Bölme İşlemi: \(\sqrt{2}\) ve \(\sqrt{2}\) sayıları irrasyoneldir. \(\sqrt{2} \div \sqrt{2} = 1\). Sonuç rasyoneldir. Kapalı değildir.
✅ Sonuç: İrrasyonel sayılar kümesi dört temel işlemin hiçbirine göre kapalı değildir. Doğru cevap D) Hiçbiri'dir.
