Soru:
\( x^2 + (a-1)x + 4 = (x + b)^2 \) özdeşliğini sağlayan \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 İki tarafın birbirine eşit olması (özdeşlik) için, hem \( x^2 \) katsayıları, hem \( x \) katsayıları hem de sabit terimler eşit olmalıdır.
- ➡️ 1. Adım: Sağ tarafı açalım.
\( (x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2 \)
- ➡️ 2. Adım: Özdeşliği yeniden yazalım.
\( x^2 + (a-1)x + 4 = x^2 + 2bx + b^2 \)
- ➡️ 3. Adım: Karşılıklı katsayıları eşitleyelim.
\( x^2 \) katsayıları: \( 1 = 1 \) (Zaten eşit)
\( x \) katsayıları: \( a - 1 = 2b \)
Sabit terimler: \( 4 = b^2 \)
- ➡️ 4. Adım: Sabit terim eşitliğinden \( b \)'yi bulalım.
\( b^2 = 4 \) ise \( b = 2 \) veya \( b = -2 \)
- ➡️ 5. Adım: Her iki \( b \) değeri için \( a \)'yı bulalım.
Durum 1 (\( b = 2 \)): \( a - 1 = 2(2) \) → \( a - 1 = 4 \) → \( a = 5 \)
Durum 2 (\( b = -2 \)): \( a - 1 = 2(-2) \) → \( a - 1 = -4 \) → \( a = -3 \)
✅ Sonuç: Özdeşlik iki farklı \((a, b)\) ikilisi için sağlanır: \( (a, b) = (5, 2) \) ve \( (a, b) = (-3, -2) \).
