Soru:
Aşağıdaki eşitliklerden hangisi/hangileri birer özdeşliktir?
- \( (x-3)(x+3) = x^2 - 9 \)
- \( x^2 + 6x + 9 = 0 \)
- \( \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \) (x ≠ 1)
Çözüm:
💡 Bir eşitliğin özdeşlik olup olmadığını anlamak için, eşitliğin değişkenin tanımlı olduğu tüm değerleri için sağlanıp sağlanmadığına bakarız.
- ➡️ I. İfade: \( (x-3)(x+3) = x^2 - 9 \)
Sol tarafı açalım: \( x^2 + 3x - 3x - 9 = x^2 - 9 \). Görüldüğü gibi sol ve sağ taraf tamamen aynı. \( x \)'in tüm gerçek sayı değerleri için doğrudur. ✅ Bu bir özdeşliktir (İki kare farkı özdeşliği).
- ➡️ II. İfade: \( x^2 + 6x + 9 = 0 \)
Bu ifade, \( (x+3)^2 = 0 \) şeklinde yazılabilir. Bu denklem sadece \( x = -3 \) için doğrudur. \( x \)'in tüm değerleri için doğru değildir. ❌ Bu bir denklemdir, özdeşlik değildir.
- ➡️ III. İfade: \( \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \) (x ≠ 1)
Sol tarafı sadeleştirelim: \( \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)} \). \( x ≠ 1 \) koşuluyla, bu ifade \( x + 1 \)'e eşittir. Yani, \( x = 1 \) dışındaki tüm gerçek sayı değerleri için eşitlik sağlanır. ✅ Bu da bir özdeşliktir (Sadeleştirme sonucu).
✅ Sonuç: I ve III numaralı ifadeler birer özdeşliktir.
