Soru:
f(x) = x fonksiyonunun süreklilik ve türevlenebilirlik durumlarını inceleyiniz. Fonksiyonun türevini ve türevin yorumunu açıklayınız.
Çözüm:
💡 Fonksiyonun analitik özelliklerini limit ve türev kavramlarıyla inceleyeceğiz.
- ➡️ Süreklilik: Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için, o noktadaki limiti fonksiyon değerine eşit olmalıdır. Herhangi bir a noktası için, \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} x = a \) ve f(a) = a'dır. Limit değeri fonksiyon değerine eşit olduğundan, fonksiyon tüm gerçek sayılarda süreklidir.
- ➡️ Türevlenebilirlik ve Türev: Türev, bir noktadaki değişim oranını (eğimi) verir. f(x)=x fonksiyonunun türevi, \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1 \) şeklinde hesaplanır.
- ➡️ Yorum: Türevin her yerde 1 olması, fonksiyonun grafiği olan doğrunun eğiminin her noktada 1 olduğu anlamına gelir. Bu, x'teki her bir birimlik artışın, fonksiyon değerinde (y'de) de tam olarak bir birimlik bir artışa sebep olduğunu gösterir. Fonksiyon tüm tanım kümesi üzerinde türevlenebilirdir.
✅ Sonuç: f(x) = x fonksiyonu tüm gerçek sayılarda süreklidir ve türevlenebilirdir. Türevi her noktada 1'dir, bu da sabit ve pozitif bir değişim hızını ifade eder.
