Soru:
\( f(x) = x \) fonksiyonu birebir ve örten midir? Nedenleriyle açıklayınız.
Çözüm:
🧠 Bir fonksiyonun birebir ve örten olup olmadığını kontrol edelim:
- ➡️ Birebir (İnjektif) Kontrolü: Eğer \( f(a) = f(b) \) ise \( a = b \) olmalıdır. \( f(a) = a \) ve \( f(b) = b \) olduğundan, \( a = b \) ise \( a = b \) çıkar. Bu her zaman doğrudur. Bu nedenle fonksiyon birebirdir.
- ➡️ Örten (Sürjektif) Kontrolü: Fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi gerçek sayılar (\( \mathbb{R} \)) olarak kabul edilir. Herhangi bir \( y \) gerçek sayısı için, \( f(x) = y \) denklemini sağlayan bir \( x \) gerçek sayısı var mıdır? Denklem \( x = y \)'dir. Yani \( x = y \) alındığında \( f(x) = y \) sağlanır. Bu nedenle fonksiyon örtentir.
✅ Sonuç: \( f(x) = x \) fonksiyonu, hem birebir hem de örten olduğu için bijektif bir fonksiyondur.
