Soru:
\( f(x) = x \) fonksiyonunun sabit noktası var mıdır? Varsa nedir? Ayrıca, bu fonksiyonun bileşkesi \( (f \circ f)(x) \) nedir ve bu bize fonksiyonun yapısı hakkında ne söyler?
Çözüm:
🔍 Fonksiyonun özel noktalarını ve bileşkesini inceleyelim:
- ➡️ Sabit Nokta: Bir \( a \) sayısı için \( f(a) = a \) ise, \( a \)'ya sabit nokta denir. \( f(x) = x \) olduğundan, \( f(a) = a \) denklemi \( a = a \) olur. Bu denklem tüm gerçek sayılar için doğrudur. Bu nedenle, fonksiyonun tüm noktaları birer sabit noktadır.
- ➡️ Fonksiyonun Bileşkesi: \( (f \circ f)(x) = f(f(x)) \) şeklinde hesaplanır. \( f(x) = x \) olduğundan, \( f(f(x)) = f(x) = x \) sonucuna ulaşılır. Yani \( (f \circ f)(x) = x \)'tir.
- ➡️ Yapısal Çıkarım: Bir fonksiyonun kendisiyle bileşkesi yine kendisini veriyorsa, bu fonksiyon birim fonksiyon (identity function) olarak adlandırılır. \( f(x) = x \) birim fonksiyonun ta kendisidir.
✅ Sonuç: \( f(x) = x \) fonksiyonunun tüm gerçek sayılar sabit noktadır ve bu fonksiyon aynı zamanda birim fonksiyondur, yani \( f \circ f = f \)'dir.
