Soru:
Gerçek sayılarda tanımlı \( h(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyon ikinci dereceden (parabol) bir fonksiyondur. Görüntü kümesini bulmak için tepe noktasını (minimum veya maksimum nokta) bulmamız gerekir.
- ➡️ 1. Adım: Tepe Noktasının x Koordinatını Bul
\( h(x) = ax^2 + bx + c \) formülünde \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \)
Tepe noktasının \( x \) koordinatı \( r = \frac{-b}{2a} \) formülüyle bulunur.
\( r = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \)
- ➡️ 2. Adım: Tepe Noktasının y Koordinatını (Minimum Değeri) Bul
\( x = 2 \) değerini fonksiyonda yerine koyalım:
\( h(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)
Parabolün kolları yukarı yönlüdür (\( a = 1 > 0 \)), bu nedenle tepe noktası minimum noktadır.
- ➡️ 3. Adım: Görüntü Kümesini Yaz
Fonksiyon \( x = 2 \) noktasında minimum \( -1 \) değerini alır. \( x \) sonsuza gittikçe fonksiyonun değeri de sonsuza gider.
✅ Görüntü Kümesi: \( [-1, \infty) \)
