Soru:
Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (PBS) 18 olan bir sayının asal çarpanlara ayrılmış halinin \( 2^a \times 3^b \times 5^c \) olduğu biliniyor. Buna göre, \( a + b + c \) toplamının alabileceği en büyük değeri bulunuz.
Çözüm:
🤔 PBS = 18 olduğuna göre, üslerin bir fazlasının çarpımı 18 olmalıdır. Yani \( (a+1)(b+1)(c+1) = 18 \). Bizden \( a+b+c \) toplamının en büyük değeri isteniyor.
- ➡️ İlk adım: 18'i çarpanlarına ayıralım. \( 18 = 18 \times 1 \times 1 \) veya \( 9 \times 2 \times 1 \) veya \( 6 \times 3 \times 1 \) veya \( 3 \times 3 \times 2 \).
- ➡️ İkinci adım: Bu çarpanlardan, üslerin (a, b, c) toplamını en büyük yapacak olanı seçmeliyiz. Üsler, çarpanlardan 1 çıkarılarak bulunur.
- \( 18 \times 1 \times 1 \) için: \( a=17, b=0, c=0 \) → Toplam = 17
- \( 9 \times 2 \times 1 \) için: \( a=8, b=1, c=0 \) → Toplam = 9
- \( 6 \times 3 \times 1 \) için: \( a=5, b=2, c=0 \) → Toplam = 7
- \( 3 \times 3 \times 2 \) için: \( a=2, b=2, c=1 \) → Toplam = 5
- ➡️ Üçüncü adım: Toplamlar arasında en büyük değer 17'dir.
✅ Sonuç: \( a + b + c \) toplamının alabileceği en büyük değer 17'dir.
