Soru:
\( A = 2^4 \times 5^3 \times 7^2 \) sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin kaç tanesi 5 ile tam bölünür?
Çözüm:
💡 5 ile tam bölünen bölenler, içinde en az bir tane 5 asal çarpanı bulunduran bölenlerdir. Bu tür sorularda, ilgili asal çarpanın (burada 5) üssünü sabit tutup, diğer asal çarpanların üsleri için PBS formülünü uygularız.
- ➡️ İlk adım: Sayımız \( A = 2^4 \times 5^3 \times 7^2 \). 5 ile bölünen bir bölen için, 5 çarpanının kuvveti 1, 2 veya 3 olabilir (yani en az 1 tane bulunmalı).
- ➡️ İkinci adım: Bu bölenleri saymanın pratik yolu, 5 çarpanını kesinlikle içermesi gerektiğini düşünmektir. Yani bölen \( 5 \times k \) şeklindedir, burada \( k \), \( 2^4 \times 5^{2} \times 7^2 \) sayısının bir böleni olmalıdır. (Dikkat: Bir tane 5'i zaten aldık, geriye \( 5^{2} \) kaldı).
- ➡️ Üçüncü adım: \( k \)'nın kaç farklı değeri olabileceğini bulalım. \( k \), \( 2^4 \times 5^{2} \times 7^2 \) sayısının bir pozitif bölenidir.
- ➡️ Dördüncü adım: \( 2^4 \times 5^{2} \times 7^2 \) sayısının PBS'sini hesaplayalım: PBS = \( (4 + 1) \times (2 + 1) \times (2 + 1) = 5 \times 3 \times 3 = 45 \).
✅ Sonuç: \( A \) sayısının 45 tane pozitif böleni 5 ile tam bölünür.
