Soru:
PBS'si 18 olan en küçük pozitif tam sayıyı bulunuz.
Çözüm:
💡 PBS = \( (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots(a_n + 1) = 18 \). Önce 18'i çarpanlarına ayırıp, bu çarpanlardan bir eksiklerini (üsleri) bulmalıyız. Sonra bu üsleri en küçük asal sayılara atayarak en küçük sayıyı oluşturmalıyız.
- ➡️ İlk adım: 18'in pozitif tam sayı çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Bunları çarpım şeklinde yazalım: \( 18 = 18 \times 1 = 9 \times 2 = 6 \times 3 \).
- ➡️ İkinci adım: Bu çarpanlardan bir eksiği üsleri verir. Olası üs kombinasyonları:
- \( 18 \times 1 \) → Üsler: 17 ve 0 → \( p^{17} \)
- \( 9 \times 2 \) → Üsler: 8 ve 1 → \( p_1^{8} \times p_2^{1} \)
- \( 6 \times 3 \) → Üsler: 5 ve 2 → \( p_1^{5} \times p_2^{2} \)
- ➡️ Üçüncü adım: En küçük sayıyı bulmak için en küçük asalları en büyük üsse veririz. Bu durumda \( 2^5 \times 3^2 \), \( 2^8 \times 3^1 \) ve \( 2^{17} \) sayılarını karşılaştıralım.
- \( 2^{17} = 131072 \)
- \( 2^8 \times 3^1 = 256 \times 3 = 768 \)
- \( 2^5 \times 3^2 = 32 \times 9 = 288 \)
✅ Sonuç: En küçük sayı 288'dir. PBS = \( (5+1)(2+1) = 6 \times 3 = 18 \).
