Soru:
\(tan(\alpha) = \sqrt{3}\) ve \(sin(\alpha) < 0\) olduğuna göre, \(cos(\alpha)\) değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Tanjant değeri pozitif, sinüs değeri negatif ise açı IV. bölgede olmalıdır. Çünkü IV. bölgede tanjant negatiftir? Hayır, kontrol edelim! Birim çemberde işaretler:
- I. Bölge: sin +, cos +, tan +
- II. Bölge: sin +, cos -, tan -
- III. Bölge: sin -, cos -, tan +
- IV. Bölge: sin -, cos +, tan -
Buna göre, \(tan(\alpha) > 0\) ve \(sin(\alpha) < 0\) koşulunu sağlayan tek bölge III. Bölge'dir.
- ➡️ \(tan(\alpha) = \sqrt{3}\) olduğu biliniyor. \(tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \sqrt{3}\).
- ➡️ Ayrıca birim çemberde temel özdeşlik: \(sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1\).
- ➡️ \(sin(\alpha) = \sqrt{3} \cdot cos(\alpha)\) diyebiliriz. Bunu özdeşlikte yerine koyalım: \((\sqrt{3} \cdot cos(\alpha))^2 + cos^2(\alpha) = 1\)
- ➡️ \(3cos^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1\) → \(4cos^2(\alpha) = 1\) → \(cos^2(\alpha) = \frac{1}{4}\).
- ➡️ \(cos(\alpha) = \pm \frac{1}{2}\). Açı III. bölgede olduğu için kosinüs değeri negatiftir.
✅ Sonuç: \(cos(\alpha) = -\frac{1}{2}\).
