Soru:
Birim çember üzerinde \( y = \frac{1}{2} \) doğrusunu kesen ve koordinat düzleminin ikinci bölgesinde bulunan noktayı düşünelim. Bu noktaya karşılık gelen \( \theta \) açısının sinüs ve kosinüs değerleri nelerdir?
Çözüm:
💡 Soru bize bir noktanın y-koordinatını (sinüs değerini) ve hangi bölgede olduğunu veriyor. Bizden kosinüs değerini ve dolayısıyla noktanın tam koordinatlarını bulmamızı istiyor.
- ➡️ Birim çemberde bir nokta \( (x, y) = (\cos\theta, \sin\theta) \) şeklindedir. Bize verilen \( \sin\theta = y = \frac{1}{2} \).
- ➡️ Birim çember denklemi \( x^2 + y^2 = 1 \)'dir. Bu denklemi kullanarak \( x \) değerini (yani \( \cos\theta \)'yı) bulabiliriz.
\( x^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \)
\( x^2 + \frac{1}{4} = 1 \)
\( x^2 = 1 - \frac{1}{4} \)
\( x^2 = \frac{3}{4} \)
\( x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- ➡️ Soruda noktanın ikinci bölgede olduğu belirtilmiş. İkinci bölgede x-koordinatı (kosinüs) negatif, y-koordinatı (sinüs) pozitiftir.
- ➡️ \( \sin\theta = \frac{1}{2} \) pozitif olduğu için bu durumla uyumludur. O halde, \( x = \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) seçmeliyiz.
✅ Sonuç olarak, istenen \( \theta \) açısı için \( \sin\theta = \frac{1}{2} \) ve \( \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)'dir.
