Soru:
\( \tan\theta = \sqrt{3} \) ve \( \cos\theta < 0 \) olmak üzere, \( \theta \) açısının birim çember üzerindeki esas ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
💡 Tanjantın pozitif, kosinüsün negatif olduğu bir durumla karşı karşıyayız. Bu bilgileri kullanarak açının hangi bölgede olduğunu tespit edeceğiz.
- ➡️ İşaret analizi yapalım:
- \( \tan\theta > 0 \) ise \( \theta \) ya birinci ya da üçüncü bölgededir.
- \( \cos\theta < 0 \) ise \( \theta \) ya ikinci ya da üçüncü bölgededir.
Her iki koşulu da sağlayan ortak bölge üçüncü bölgedir.
- ➡️ Şimdi, \( \tan\theta = \sqrt{3} \) eşitliğini sağlayan temel açıyı bulalım. \( \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \) olduğunu biliyoruz.
- ➡️ Üçüncü bölgedeki bir açı, temel açının \( \pi \) radyan (180°) eklenmiş halidir. Yani, esas ölçümüz \( \pi + \frac{\pi}{3} \) olacaktır.
- ➡️ Bu işlemi yapalım: \( \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \).
✅ Sonuç olarak, verilen koşulları sağlayan \( \theta \) açısının birim çember üzerindeki esas ölçüsü \( \frac{4\pi}{3} \) radyandır.
