Soru:
\(\theta = \frac{5\pi}{3}\) radyanlık açının birim çember üzerindeki bitim noktasının koordinatlarını bulunuz ve bu açıya esas ölçüsü \(\frac{\pi}{3}\) olan açılardan hangisi denktir?
Çözüm:
💡 Radyan ölçüsünü daha iyi anlamak için dereceye çevirebiliriz: \(\frac{5\pi}{3} = \frac{5 \times 180^\circ}{3} = 300^\circ\). Bu açı IV. bölgededir.
- ➡️ \(\frac{5\pi}{3}\) açısının esas ölçüsü, \(2\pi\)'den küçük ve pozitif olduğu için zaten kendisidir. Ancak bu açı, \(\frac{\pi}{3}\) (60°) açısı ile x-eksenine göre simetriktir. Yani başvuru açısı (reference angle) \(\frac{\pi}{3}\)'tür.
- ➡️ IV. bölgedeki bir açının koordinatları \((cos(\theta), sin(\theta))\) şeklindedir ve \(cos(\theta) > 0\), \(sin(\theta) < 0\).
- ➡️ Başvuru açısı \(\frac{\pi}{3}\) olduğundan: \(cos(\frac{5\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\) ve \(sin(\frac{5\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
- ➡️ O halde bitim noktasının koordinatları \(\left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\) olur.
- ➡️ Bu açı, esas ölçüsü \(\frac{\pi}{3}\) olan \(-\frac{\pi}{3}\) açısına denktir çünkü \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\).
✅ Sonuç: Bitim noktası \(\left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)'dir ve \(\frac{5\pi}{3}\) açısı, \(-\frac{\pi}{3}\) açısına denktir.
