Soru:
Birim çember üzerinde, apsisi \( -\frac{1}{2} \) olan ve ordinatı pozitif olan noktayı bulunuz. Bu noktaya karşılık gelen açının kosinüs, sinüs ve tanjant değerlerini yazınız.
Çözüm:
💡 Apsis \( x = \cos\theta \) değeridir. Ordinatın pozitif olması, noktanın birinci veya ikinci bölgede olduğunu gösterir. Ancak apsis negatif olduğu için nokta ikinci bölgede olmalıdır.
- ➡️ Birim çember denklemi \( x^2 + y^2 = 1 \)'dir. \( x = -\frac{1}{2} \) değerini yerine koyalım.
\( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 1 \)
\( \frac{1}{4} + y^2 = 1 \)
\( y^2 = 1 - \frac{1}{4} \)
\( y^2 = \frac{3}{4} \)
\( y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- ➡️ Soruda ordinatın pozitif olduğu belirtildiği için \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \) seçilir. Bu değer aynı zamanda \( \sin\theta \) değeridir.
- ➡️ Şimdi trigonometrik değerleri yazabiliriz:
\( \cos\theta = x = -\frac{1}{2} \)
\( \sin\theta = y = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2} }{ -\frac{1}{2} } = -\sqrt{3} \)
✅ Sonuç olarak, noktanın koordinatları \( \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)'tır ve trigonometrik değerler:
\( \cos\theta = -\frac{1}{2} \), \( \sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \tan\theta = -\sqrt{3} \) şeklindedir.
