Soru:
Birim çember üzerinde \(sin(\theta) = -\frac{4}{5}\) ve açı \(\theta\) III. bölgede ise, \(sec(\theta) + cot(\theta)\) ifadesinin değerini hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Verilen bir trigonometrik orandan yola çıkarak diğerlerini bulmak için birim çember özdeşliğini kullanacağız.
- ➡️ \(sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1\) özdeşliğinden: \((-\frac{4}{5})^2 + cos^2(\theta) = 1\) → \(\frac{16}{25} + cos^2(\theta) = 1\)
- ➡️ \(cos^2(\theta) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\) → \(cos(\theta) = \pm \frac{3}{5}\).
- ➡️ Açı III. bölgede olduğu için hem sinüs hem de kosinüs negatiftir. Dolayısıyla \(cos(\theta) = -\frac{3}{5}\).
- ➡️ Şimdi istenen ifadeyi oluşturalım: \(sec(\theta) = \frac{1}{cos(\theta)} = \frac{1}{-3/5} = -\frac{5}{3}\).
- ➡️ \(cot(\theta) = \frac{cos(\theta)}{sin(\theta)} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\).
- ➡️ Son olarak: \(sec(\theta) + cot(\theta) = (-\frac{5}{3}) + (\frac{3}{4})\).
- ➡️ Payda eşitleyelim: \(-\frac{20}{12} + \frac{9}{12} = -\frac{11}{12}\).
✅ Sonuç: \(sec(\theta) + cot(\theta) = -\frac{11}{12}\).
