Soru:
Birim çember üzerinde, \( \theta = \frac{5\pi}{4} \) radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Birim çemberde bir noktanın koordinatları \( (\cos\theta, \sin\theta) \) şeklindedir. Amacımız bu değerleri hesaplamak.
- ➡️ İlk olarak, \( \theta = \frac{5\pi}{4} \) açısının hangi bölgede olduğunu belirleyelim. \( \pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} \) olduğundan, bu açı üçüncü bölgededir.
- ➡️ Üçüncü bölgede hem sinüs hem de kosinüs değerleri negatiftir. Bu açının esas ölçüsü zaten \( \frac{5\pi}{4} \)'tür. Bu açıyı, \( \pi + \frac{\pi}{4} \) şeklinde yazabiliriz. Yani, \( \frac{\pi}{4} \)'ün 180° (veya \(\pi\) radyan) ötelenmiş halidir.
- ➡️ \( \frac{\pi}{4} \)'ün trigonometrik değerlerini hatırlayalım: \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
- ➡️ Üçüncü bölgede olduğumuz için her iki değer de negatif olacaktır. Dolayısıyla:
\( \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
✅ Sonuç olarak, birim çember üzerindeki noktanın koordinatları \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)'tır.
