10. Sınıf Dış Açıortay Teoremi

Bir üçgende iç açıortay ve dış açıortayla ilgili bir problem verilmiştir. ABC üçgeninde |AB| = 15 cm, |AC| = 10 cm'dir. A köşesinden çizilen iç açıortay BC kenarını E noktasında, dış açıortay ise BC'nin uzantısını F noktasında kesmektedir. |EC| = 6 cm olduğuna göre |FC| uzunluğu kaç cm'dir?

💡 Önce iç açıortay teoremini kullanarak |BE|'yi bulalım, sonra dış açıortay teoremini uygulayalım.

• ➡️ İç Açıortay Teoremi: \(\frac{|BE|}{|EC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\)
• ➡️ |EC| = 6 cm verildiğine göre: \(\frac{|BE|}{6} = \frac{3}{2}\) ⇒ |BE| = 9 cm
• ➡️ Böylece |BC| = |BE| + |EC| = 9 + 6 = 15 cm bulunur.
• ➡️ Şimdi Dış Açıortay Teoremi'ni uygulayalım: \(\frac{|FB|}{|FC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{3}{2}\)
• ➡️ |FB| = |FC| - |BC| = |FC| - 15 yazabiliriz.
• ➡️ Oranı yazarsak: \(\frac{|FC| - 15}{|FC|} = \frac{3}{2}\)
• ➡️ İçler dışlar çarpımı: 2(|FC| - 15) = 3|FC| ⇒ 2|FC| - 30 = 3|FC| ⇒ |FC| = -30 ❌ Bu imkansızdır, işaret hatası yaptık!
• ➡️ Düzeltme: F noktası B tarafında olduğundan |FB| = |FC| + |BC| olmaz. Doğrusu: |BF| = |FC| - |BC| değil, |BF| = |FC| + |BC| de olabilir, en iyisi noktaların konumuna dikkat edelim. B-F-C sıralaması var ise |FC| = |FB| + |BC| olur. \(\frac{|FB|}{|FC|} = \frac{3}{2}\) ifadesinde |FB| = |FC| - |BC| = |FC| - 15 yazılabilir. Denklem: \(\frac{|FC| - 15}{|FC|} = \frac{3}{2}\) → 2|FC| - 30 = 3|FC| → |FC| = -30 çıkar. Bu da imkansız. Demek ki sıralama F-B-C şeklindedir. O halde |FB| = |BC| - |FC| = 15 - |FC| olmaz? Hayır, yanlış. Doğru yaklaşım: F, B'nin dışında bir nokta olduğundan B-F-C sıralı değil, F-B-C sıralı olabilir. O zaman |FB| = |FC| - |BC| doğrudur. Yani |FB| = |FC| - 15. Oran: \(\frac{|FC| - 15}{|FC|} = \frac{3}{2}\) → 2|FC| - 30 = 3|FC| → |FC| = -30. Bu da olmuyor. Demek ki oranın yönü ters. Dış açıortay teoremi: \(\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}\). Burada B-D-C değil, B-C-D sıralı olur. Yani |BD|/|DC| = |AB|/|AC|. F noktası için: B-C-F sıralı. O halde |BF|/|FC| = |AB|/|AC|. |BF| = |BC| + |CF| = 15 + |FC|. Yani \(\frac{15 + |FC|}{|FC|} = \frac{3}{2}\) → 30 + 2|FC| = 3|FC| → |FC| = 30 cm.

✅ Doğru çözümle |FC| = 30 cm olarak bulunur.