Soru:
ABC üçgeninde [AD], A açısının dış açıortayıdır. B, C, D noktaları doğrusaldır. |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm ve |BD| = 4 cm olduğuna göre |BC| uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Dış Açıortay Teoremi'ni uygulayarak |BC|'yi bulacağız.
- ➡️ Teorem: \(\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|AC|}\)
- ➡️ Verilenleri yerine koyalım: \(\frac{4}{|CD|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)
- ➡️ İçler dışlar çarpımı: 4 × 3 = 2 × |CD| ⇒ 12 = 2|CD| ⇒ |CD| = 6 cm
- ➡️ |BC| = |BD| - |CD| = 4 - 6 = -2 ❌ Bu imkansız! Demek ki noktaların sıralaması farklı.
- ➡️ Doğru sıralama: B-C-D şeklinde olmalı. O halde |BD| = |BC| + |CD|
- ➡️ |CD| = 6 cm ve |BD| = 4 cm verilmiş. Bu durumda |BD| = |BC| + |CD| ⇒ 4 = |BC| + 6 ⇒ |BC| = -2 yine çıkar. Bu da olmuyor. Demek ki |BD| değil, |CD| = 4 cm verilmiş olabilir mi? Soru metninde |BD| = 4 cm denmiş. O halde oranı tekrar yazalım: \(\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). |BD| = 4 ise \(\frac{4}{|CD|} = \frac{2}{3}\) → |CD| = 6 cm. B-C-D sıralı ise |BD| = |BC| + |CD| → 4 = |BC| + 6 → |BC| = -2. Çıkmıyor. B-D-C sıralı olsaydı: |BC| = |BD| + |DC| = 4 + 6 = 10 cm olurdu. Bu mantıklı! Demek ki noktaların sırası B-D-C şeklinde. Yani D, B ile C arasında değil, BC'nin B tarafındaki uzantısında. O halde |BD| = 4 cm, |CD| = |BC| + |BD| = |BC| + 4. Oran: \(\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{4}{|BC| + 4} = \frac{2}{3}\) → 12 = 2(|BC| + 4) → 12 = 2|BC| + 8 → 2|BC| = 4 → |BC| = 2 cm.
✅ Doğru çözümle |BC| = 2 cm olarak bulunur.
