10. Sınıf Referans Fonksiyonlar ve Ters Fonksiyonları

\( g: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\} \) olmak üzere, \( g(x) = \frac{x + 3}{x - 2} \) fonksiyonunun tersini bulunuz ve tanım kümesi ile değer kümesini belirtiniz.

💡 Bu bir rasyonel fonksiyondur. Tersini bulmak için \( y = g(x) \) yazıp \( x \)'i yalnız bırakacağız.

• ➡️ İlk adım: \( y = \frac{x + 3}{x - 2} \) yazalım.
• ➡️ İkinci adım: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( y(x - 2) = x + 3 \).
• ➡️ Üçüncü adım: Parantezi dağıtalım: \( yx - 2y = x + 3 \).
• ➡️ Dördüncü adım: Tüm \( x \) terimlerini bir tarafa toplayalım: \( yx - x = 3 + 2y \).
• ➡️ Beşinci adım: \( x \) parantezine alalım: \( x(y - 1) = 3 + 2y \).
• ➡️ Altıncı adım: \( x \)'i yalnız bırakalım: \( x = \frac{3 + 2y}{y - 1} \).
• ➡️ Son adım: Değişkenlerin yerini değiştirelim: \( g^{-1}(x) = \frac{3 + 2x}{x - 1} \).

✅ Sonuç: Ters fonksiyon \( g^{-1}(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} \) olur. Orijinal fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) ve değer kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) olduğundan, ters fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \), değer kümesi ise \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) olur.