Soru:
\( f(x) = \sqrt{x - 2} \) ve \( g(x) = x^2 + 2 \) fonksiyonları verilsin.
- a) \( (f \circ g)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulunuz.
- b) \( (g \circ f)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulunuz.
- c) \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının birbirinin tersi olup olmadığını yorumlayınız.
Çözüm:
🔍 Bileşke fonksiyonları hesaplayarak iki fonksiyonun birbirinin tersi olup olmadığını anlayabiliriz. Ters fonksiyonlarda \( (f \circ g)(x) = x \) ve \( (g \circ f)(x) = x \) olmalıdır.
- ➡️ a) \( (f \circ g)(x) \): \( f(g(x)) = \sqrt{g(x) - 2} = \sqrt{(x^2 + 2) - 2} = \sqrt{x^2} \). Karekök mutlak değer verir, yani \( |x| \). Yani, \( (f \circ g)(x) = |x| \).
- ➡️ b) \( (g \circ f)(x) \): \( g(f(x)) = (f(x))^2 + 2 = (\sqrt{x - 2})^2 + 2 = (x - 2) + 2 = x \). Yani, \( (g \circ f)(x) = x \).
- ➡️ c) Yorum: \( (g \circ f)(x) = x \) sağlanırken, \( (f \circ g)(x) = |x| \) olduğu için \( x \)'in tüm değerleri için \( x \)'e eşit değildir (örneğin, \( x = -3 \) için sonuç 3'tür). Bu nedenle, \( f \) ve \( g \) fonksiyonları birbirinin tam anlamıyla tersi değildir. Ancak, \( g(x) \)'in tanım kümesi \( x \geq 0 \) olarak kısıtlanırsa (\( \sqrt{x^2} = x \) olacağı için) o zaman ters fonksiyon ilişkisi sağlanabilir.
✅ Sonuç: Verilen tanım kümeleriyle (\( f \)'nin tanım kümesi \( [2, \infty) \), \( g \)'nin tanım kümesi tüm reel sayılar) bu iki fonksiyon birbirinin tersi değildir.
