Soru:
\( h(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun tüm gerçel sayılarda birebir olmadığını gösteriniz ve tersinin alınabilmesi için tanım kümesini nasıl kısıtlamamız gerektiğini belirleyiniz.
Çözüm:
⚠️ Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için birebir (ve örten) olması gerekir. Parabol gibi fonksiyonlar tüm gerçel sayılarda birebir değildir.
- ➡️ 1. Adım (Birebir Olmadığını Gösterme): Örneğin, \( h(1) = (1)^2 - 4(1) + 3 = 0 \) ve \( h(3) = (3)^2 - 4(3) + 3 = 0 \) değerleri aynıdır. Görüldüğü gibi farklı \( x \) değerleri aynı \( y \) değerini verir. Bu, fonksiyonun birebir olmadığını kanıtlar.
- ➡️ 2. Adım (Tanım Kümesini Kısıtlama): Parabolün tepe noktasını bulalım. \( h(x) = x^2 - 4x + 3 \) parabolünün tepe noktasının \( x \) koordinatı \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \)'dir. Parabol \( x=2 \) doğrusuna göre simetriktir. Bu nedenle, tanım kümesini \( [2, \infty) \) (artanan kısım) veya \( (-\infty, 2] \) (azalan kısım) olarak kısıtlarsak fonksiyon birebir olur.
✅ Sonuç: \( h(x) \) tüm gerçel sayılarda birebir değildir. Tersini almak için tanım kümesini parabolün tepe noktasının bir tarafına (\( x \geq 2 \) veya \( x \leq 2 \)) kısıtlamalıyız.
