Soru:
\( f(x) = \sqrt[3]{x - 1} \) fonksiyonunun tersini bulunuz ve \( f(9) \) ile \( f^{-1}(2) \) değerlerini hesaplayarak \( f(f^{-1}(2)) = 2 \) eşitliğini doğrulayınız.
Çözüm:
🔍 Küp kök fonksiyonu tüm gerçek sayılarda birebir ve örtendir, dolayısıyla tersi vardır. Ayrıca bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyonu verir.
- ➡️ İlk adım (Tersini bulma): \( y = \sqrt[3]{x - 1} \) yazalım.
- ➡️ İkinci adım: \( x \) ve \( y \)'nin yerlerini değiştirelim: \( x = \sqrt[3]{y - 1} \).
- ➡️ Üçüncü adım: Her iki tarafın küpünü alarak kökten kurtulalım: \( x^3 = y - 1 \).
- ➡️ Dördüncü adım: \( y \)'yi yalnız bırakalım: \( y = x^3 + 1 \). Yani, \( f^{-1}(x) = x^3 + 1 \).
- ➡️ Beşinci adım (Değerleri hesaplama):
- \( f(9) = \sqrt[3]{9 - 1} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
- \( f^{-1}(2) = (2)^3 + 1 = 8 + 1 = 9 \).
- ➡️ Altıncı adım (Doğrulama): \( f(f^{-1}(2)) = f(9) = 2 \). Görüldüğü gibi sonuç 2'dir ve bu, \( f \) ile \( f^{-1} \)'in bileşkesinin birim fonksiyon olduğunu gösterir.
✅ Sonuç olarak, ters fonksiyon \( f^{-1}(x) = x^3 + 1 \)'dir ve \( f(f^{-1}(2)) = 2 \) eşitliği doğrulanmıştır.
