Soru:
İki küresel cisim, aynı yükseklikten aynı anda serbest bırakılıyor. X cisminin yarıçapı \( r \), Y cisminin yarıçapı ise \( 2r \)'dir. Her iki cisim de aynı maddeden yapıldığına göre (özkütleleri aynı), limit hızlarının oranı (\( \frac{v_X}{v_Y} \)) nedir? (Hava direnci kuvveti \( F_d = k \cdot v^2 \) olup, \( k \) sabiti cismin kesit alanı (\( A \)) ile doğru orantılıdır.)
Çözüm:
💡 Bu soruda kütle ve kesit alanı yarıçapa bağlı olarak değişir. Önce bu ilişkileri kuralım.
- ➡️ 1. Adım: Kütle ve alanı yarıçap cinsinden yazalım. Hacim \( \propto r^3 \), özkütle aynı olduğundan kütle \( m \propto r^3 \). Kesit alanı \( A \propto r^2 \). \( k \propto A \) olduğundan, \( k \propto r^2 \).
- ➡️ 2. Adım: Limit hız formülünü yazalım. \( mg = k v_l^2 \) → \( v_l = \sqrt{\frac{mg}{k}} \)
- ➡️ 3. Adım: Orantıları yerine koyalım. \( v_l = \sqrt{\frac{(r^3) \cdot g}{(r^2)}} = \sqrt{r \cdot g} \). Görüldüğü gibi limit hız \( \sqrt{r} \) ile orantılıdır.
- ➡️ 4. Adım: Oranı bulalım. \( \frac{v_X}{v_Y} = \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{2r}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
✅ Sonuç: İki cismin limit hızlarının oranı \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)'dir.
