Soru:
Çevresi \( 12 + 4\sqrt{3} \) cm olan bir 30-60-90 üçgeninin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Bu soruda bilinmeyen oran birimi \( k \)'yı bulmak için çevre ifadesini kullanacağız.
- ➡️ Kenar oranlarına göre kenar uzunlukları: \( k \) (30° karşısı), \( k\sqrt{3} \) (60° karşısı), \( 2k \) (hipotenüs).
- ➡️ Çevre = \( k + k\sqrt{3} + 2k = 3k + k\sqrt{3} = k(3 + \sqrt{3}) \).
- ➡️ Soruda çevre \( 12 + 4\sqrt{3} \) olarak verilmiş. Yani, \( k(3 + \sqrt{3}) = 12 + 4\sqrt{3} \).
- ➡️ \( k \)'yı yalnız bırakmak için her iki tarafı \( (3 + \sqrt{3}) \) ifadesine bölelim: \( k = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \).
- ➡️ Paydayı rasyonel yapalım. Pay ve paydayı \( (3 - \sqrt{3}) \) ile çarpalım:
\( k = \frac{(12 + 4\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{36 - 12\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 4 \times 3}{9 - 3} = \frac{36 - 12}{6} = \frac{24}{6} = 4 \) cm.
- ➡️ Hipotenüs = \( 2k = 2 \times 4 = 8 \) cm.
✅ Sonuç: Üçgenin hipotenüsü 8 cm uzunluğundadır.
