Soru:
Bir 30-60-90 üçgeninin çevresi \( 12 + 4\sqrt{3} \) cm'dir. Bu üçgenin 30° karşısındaki kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Kenar oranlarını kullanarak bir denklem kuralım. Kenarlar sırasıyla \( x \), \( x\sqrt{3} \) ve \( 2x \)'tir.
- ➡️ Çevre = \( x + x\sqrt{3} + 2x = 3x + x\sqrt{3} \).
- ➡️ Verilen çevre: \( 3x + x\sqrt{3} = 12 + 4\sqrt{3} \).
- ➡️ \( x \) parantezine alalım: \( x(3 + \sqrt{3}) = 12 + 4\sqrt{3} \).
- ➡️ Her iki tarafı \( (3 + \sqrt{3}) \) ifadesine bölelim: \( x = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \).
- ➡️ Paydayı rasyonelleştirelim. Pay ve paydayı \( (3 - \sqrt{3}) \) ile çarpalım:
\( x = \frac{(12 + 4\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{36 - 12\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 4 \times 3}{9 - 3} = \frac{36 - 12}{6} = \frac{24}{6} = 4 \).
✅ 30° karşısındaki kenar \( x = 4 \) cm'dir.
