Soru:
\( f: A \to B \) birim fonksiyon ise aşağıdaki ifadelerden hangisi/hangileri kesinlikle doğrudur?
- Tanım kümesi ve değer kümesi aynıdır.
- Görüntü kümesi, tanım kümesine eşittir.
- Birebir ve örten fonksiyondur.
Çözüm:
🔍 Birim fonksiyonun tanımını ve özelliklerini düşünelim: \( f(x) = x \).
- ➡️ I. İfade: Kesinlikle doğru değildir. Tanım ve değer kümelerinin aynı olması şart değildir. Önemli olan, tanım kümesinin değer kümesinin bir alt kümesi olması ve her x için f(x)=x eşitliğinin sağlanabilmesidir. Örneğin, \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(n)=n \) bir birim fonksiyondur ama tanım ve değer kümeleri farklıdır (\( \mathbb{N} \neq \mathbb{Z} \)).
- ➡️ II. İfade: Kesinlikle doğrudur. Görüntü kümesi, { f(x) | x ∈ A } = { x | x ∈ A } = A'dır. Yani tanım kümesinin ta kendisidir.
- ➡️ III. İfade: Kesinlikle doğrudur. Birim fonksiyon birebirdir (f(x₁)=f(x₂) ise x₁=x₂'dir) ve örtendir (Görüntü kümesi A, değer kümesi B'nin alt kümesidir ve B=A olduğunda tam örten olur. Ancak genel tanımda B'nin A'yı kapsaması yeterlidir, fonksiyonun kendisi içine de olabilir. Fakat "birim fonksiyon" denildiğinde genellikle A=B kabul edilir ve bu durumda örten olur. Soru "kesinlikle" dediği için bu ifade tartışmalı olabilir ancak standart tanımda birim fonksiyon birebir ve örten kabul edilir). Pratik cevap: Doğru kabul edilir.
✅ Sonuç: Kesinlikle doğru olan ifadeler II ve III numaralı ifadelerdir.
