Birim fonksiyon nedir?

A = { -1, 0, 1, 2 } kümesi üzerinde tanımlı \( f: A \to A \) fonksiyonu, \( f(x) = x^3 - 2x^2 + kx \) kuralı ile veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon ise k kaçtır?

🌟 f'nin birim fonksiyon olması demek, A kümesinin her elemanı için \( f(x) = x \) olması demektir. Yani \( x^3 - 2x^2 + kx = x \) eşitliği her x ∈ A için sağlanmalıdır.

• ➡️ Denklemi düzenleyelim: \( x^3 - 2x^2 + kx - x = 0 \) -> \( x^3 - 2x^2 + (k-1)x = 0 \).
• ➡️ x parantezine alalım: \( x(x^2 - 2x + (k-1)) = 0 \).
• ➡️ Bu eşitliğin A={-1, 0, 1, 2} kümesindeki tüm x değerleri için sağlanması gerekiyor. En kolay kontrol edilebilecek değerle başlayalım. x=0 için: \( 0(0 - 0 + (k-1)) = 0 \) -> 0=0. Bu her k için sağlanır, bize yeni bir bilgi vermez.
• ➡️ Şimdi x=1'i deneyelim: \( 1(1 - 2 + (k-1)) = 0 \) -> \( (1 - 2 + k - 1) = 0 \) -> \( k - 2 = 0 \) -> \( k = 2 \).
• ➡️ k=2 bulduk. Şimdi diğer değerler için de sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
• ➡️ x=-1 için (k=2): \( -1(1 + 2 + (2-1)) = -1(1+2+1) = -1(4) = -4 \neq 0 \) ❌. Bu bir çelişkidir. O halde sadece bir noktayı sağlatmak yetmez, tüm küme için sağlanmalı.
• ➡️ Doğru yol: \( f(x) = x \) olmalı. Yani \( x^3 - 2x^2 + kx = x \). Bu denklem x'e bölünemez (x=0 olabilir). Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( x^3 - 2x^2 + (k-1)x = 0 \).
• ➡️ x parantezine alırsak: \( x [ x^2 - 2x + (k-1) ] = 0 \). Bu denklemin kökleri x=0 ve \( x^2 - 2x + (k-1) = 0 \) denkleminin kökleridir.
• ➡️ f birim fonksiyon ise f(x)-x=0 denkleminin sadece x=0 kökü olmalı, başka kökü olmamalı ki A kümesindeki 1, 2, -1 gibi diğer elemanlar için f(x)=x bozulmasın. Yani \( x^2 - 2x + (k-1) = 0 \) denkleminin çakışık (diskriminantı sıfır) olması ve kökünün de x=0 olması gerekir.
• ➡️ Diskriminant sıfır olmalı: Δ = (-2)² - 4*1*(k-1) = 4 - 4(k-1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k = 0 -> 4k=8 -> k=2.
• ➡️ k=2 için denklem: \( x^2 - 2x + (2-1) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0 \). Kökü x=1'dir.
• ➡️ Bu durumda f(x)-x = x(x-1)² olur. A kümesindeki x=1 için f(1)-1=0 sağlanır (iyi), ancak x=2 için f(2)-2 = 2*(1)² = 2 ≠ 0 olur. Yani f(2) ≠ 2 olur. Bu da f'nin birim fonksiyon olmadığını gösterir.
• ➡️ Demek ki bu polinomun birim fonksiyon olması imkansızdır. Çünkü 3. dereceden bir polinomun \( f(x)=x \) doğrusuyla sadece 3 noktada kesişmesi gerekir, oysa A kümesinde 4 nokta var. Kısacası, böyle bir k değeri yoktur.

✅ Sonuç: Verilen koşulu sağlayan bir k gerçek sayısı bulunmamaktadır.