Soru:
Bir cisim, yerden yüksekte bir kuleden yatayla \( 30^\circ \) aşağıya doğru \( 40 \, m/s \) hızla atılıyor. Cismin yere düşme noktasının kulenin tam altına olan yatay uzaklığı (menzili) \( 80\sqrt{3} \, metre \) olduğuna göre, kulenin yüksekliği kaç metredir? (\( g = 10 \, m/s^2 \))
Çözüm:
💡 Bu bir aşağı yönlü eğik atış problemidir. Menzil biliniyor, bizden kulenin yüksekliği (cismin düşeyde aldığı yol) isteniyor. Hareketi yatay ve düşey bileşenlere ayırarak çözeceğiz.
- ➡️ Verilenler: \( v_0 = 40 \, m/s \), \( \theta = 30^\circ \) (aşağı), \( R = 80\sqrt{3} \, m \), \( g = 10 \, m/s^2 \).
- ➡️ Hız bileşenlerini bulalım:
Yatay Hız: \( v_x = v_0 \cos\theta = 40 \times \cos 30^\circ = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \, m/s \) (Sabit)
İlk Düşey Hız: \( v_{0y} = v_0 \sin\theta = 40 \times \sin 30^\circ = 40 \times 0.5 = 20 \, m/s \) (Aşağı yönlü, ivme ile aynı yönde)
- ➡️ Hareketin süresini (t) yatay hareketten bulalım: \( R = v_x \times t \)
\( 80\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \times t \) → \( t = \frac{80\sqrt{3}}{20\sqrt{3}} = 4 \, saniye \).
- ➡️ Kulenin yüksekliğini (h) bulmak için düşey hareket formülünü kullanalım. İvme ve ilk hız aynı yönde olduğu için: \( h = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2 \).
- ➡️ Değerleri yerine koyalım: \( h = (20 \times 4) + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 80 + (5 \times 16) = 80 + 80 \).
✅ Sonuç: Kulenin yüksekliği \( h = 160 \, metre \)'dir.
